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3D Vision을 연구하고 있는 입장에서, 논문을 읽다 보면 'geometry'라는 단어와 'topology'라는 단어가 자주 보인다. 둘 다 '기하학적인 개념'이라고 대충 알고 지나갔었는데, 두 개념의 차이를 조금 더 확실히 알아보고 정리해두려 한다.
Geoemtry란? Topology란?
Geometry와 topology는 공통적으로 '공간'을 수학적으로 해석하는 개념이다. 하지만 깊이 파고들면 명확한 차이점이 있다. 우선 각각의 정의를 살펴보자.
Geometry(기하학)란, 공간에 존재하는 점(points), 선(lines), 면(surfaces), 각도(angles), 입체(solids) 등의 특성(properties), 치수(measurement), 서로 간의 관계(relations)를 수학적으로 다룬다. 특히, 우리에게 익숙한 distance, shape, size, position 등의 개념을 다룬다.
하위 개념 몇 가지를 알아보자.
- Point, line, and plane : Geoemtry에서의 기초적인 요소로, point는 위치(location)를, line은 두 point간의 연결을 의미한다. Plane은 평평한 surface를 의미한다.
- Shape and solid : Geometry에서는 2차원 shape인 사각형, 삼각형, 원 등을 다루고, 3차원 solid인 cube, sphere, pyramid 등을 다룬다.
- Measurement : 길이, 면적, 부피 등 shape이나 solid가 갖는 수치적인 특성을 말한다.
- Transformation : Translation, rotation, reflection, dilation 등 어떤 shape이나 solid의 위치나 방향을 바꾸는 것을 말한다.
- Property : 일치, 닮음, 대칭, 평행, 직교 등 shape이나 solid 사이의 관계를 나타낸다.
Topology(위상수학)는 연속적인 변형(continuous transformation)이 가해져도 보존되는 공간적 특성을 수학적으로 다룬다. 예를 들어, tearing(찢기)이나 gluing(붙이기)가 아닌, stretching(늘이기), crumpling(구기기), bending(구부리기) 등의 변형이 연속적인 변형에 속한다. 구(sphere)와 정육면체(cube)는 자르거나 붙이지 않고 변형하여 서로가 될 수 있으므로, 같은 topology(homeomorphic)이다.
마찬가지로 하위 개념을 살펴보자.
- Open and closed set : Topology의 기초가 되는 개념으로, topological space, topological space 등을 정의하는 데 사용된다.
- Continuous function : Topology에서 open set의 모든 pre-image(원상)가 open이면 연속이라고 정의한다. 여기서 pre-image는 역함수(inverse function) 정도로 이해할 수 있다.
- Compactness and connectedness : 모든 open cover가 한정된 subcover를 갖고 있으면 공간이 compact하다고 하고, 끊겨있는 두 개의 open set으로 나뉠 수 없을 때 공간이 연결되어있다(connected)고 정의한다.
- Homeomorphism : 수학적으로, 두 공간 사이에 연속적인 bijection(그리고 inverse)이 존재하면 homeomorphic하다, 즉 두 공간의 topology가 같다고 정의한다. 이는 두 공간의 topology적인 특성이 같다는 것을 의미한다.
- Homotopy : 두 함수 사이의 연속적인 변형(continuous deformation)의 개념이다. 어떤 함수가 다른 함수로 (연속적으로) 변형이 가능하면 두 함수는 homotopic하다고 한다.
- Invariants : Homeomorphic한 공간들은 서로 invariant하다고 표현한다. 대표적인 예로 Euler characteristic이 있다.
- Manifolds : Euclidean space와 비슷한 topological space이다. \(n\)차원 manifold의 각 점은 \(n\)차원 Euclidean space와 homeomorphic한(topological 특성이 같은) neighborhood를 가진다. 1차원 manifold에는 직선(line), 원(circle) 등이 있고, 2차원 manifold는 'surface'를 말한다. 인공지능에서 자주 등장하는 단어이다.
Geometry와 Topology의 차이
Topology는 geometry보다 좀 덜 엄격한 개념, 즉 기하학이 확장된 개념으로 볼 수 있다. '위상수학'(의 어려움)에 관한 얘기를 들은 적이 있는데, 위상수학에서는 도넛 모양의 입체와 머그컵이 같다고 본다는 것이다. 아마도 (수학을 전공하지 않은) 일반인은 기하학이 훨씬 익숙하기 때문에 어렵게 느껴지는 것이 아닌가 하는 생각이 든다.
Gemoetry는 기하학적인 구조를 shape, size 등의 공간적 특성을 기준으로 구분하기 때문에 어떤 object를 구성하는 꼭지점(vertices), 모서리(edges), 면(surfaces) 등의 coordanate가 중요하지만, topology는 꼭지점 등의 정확한 위치보다 이들이 어떻게 연결되어있는지가 중요하다.
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